ZADANIE 2

Kristína Mečiarová

---

1.

Rýchlo môžeme spočítať, že náhodný vektor \((X,Y)^T\) má rovnomerné rozdelenie na trojuholníku s hustotou \[f_{(X,Y)}(x,y)=c \cdot \mathbb{I}\{x \in (0;1)\} \cdot \mathbb{I}\{y \in (0;1-x)\},\; c \in \mathbb{R},\] ktorá musí spĺňať \(\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f_{(X,Y)}(x,y) dx dy=1.\) Z toho ľahko spočítame, že \(c=2.\) Marginálne hustoty jednoducho odvodíme ako \[f_X(x)= \int_{0}^{1-x} 2 \cdot \mathbb{I}\{x \in (0;1)\} dy= 2 \cdot (1-x) \mathbb{I}\{x \in (0;1)\},\] \[f_Y(y)= \int_{0}^{y} 2 \cdot \mathbb{I}\{y \in (0;1)\} dx= 2y \cdot \mathbb{I}\{y \in (0;1)\}.\] Ak by boli náhodné veličiny \(X\) a \(Y\) nezávislé, museli by spĺňať \(f_{(X,Y)}(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y).\) Vidíme však, že \(2 \cdot \mathbb{I}\{x \in (0;1)\} \cdot \mathbb{I}\{y \in (0;1-x)\} \neq 2 \cdot (1-x) \mathbb{I}\{x \in (0;1)\} \cdot 2y \cdot \mathbb{I}\{y \in (0;1)\},\) a teda náhodné veličiny \(X\) a \(Y\) nie sú nezávislé.

2.

V tejto časti využijeme prepis \[f_{(X,Y)}(x,y)=f_{(Y|X)}(y|x) \cdot f_X(x),\] teda \[f_{(Y|X)}(y|x)=\frac{\mathbb{I}\{x \in (0;1)\} \cdot \mathbb{I}\{y \in (0;1-x)\}}{(1-x)}.\] Náhodná veličina \(X\) má rozdelenie s distribučnou funkciou \[ F_X(x)=\int_{- \infty}^{x} 2 \cdot (1-t) \mathbb{I}\{t \in (0;1)\} dt = \begin{cases} 0, & x<0,\\ 2x-x^2, & x \in (0;1),\\ 1, & x>1. \end{cases} \] Distribučná funkcia \(F_X(x)\) je absolútne spojitá, teda môžeme spočítať kvantilovú funkciu \(F^{-1}_X(q), \; q \in (0,1)\) ako \[F^{-1}_X(q)=1-\sqrt{(1-q)},\; q \in (0;1).\]

Nagenerujeme náhodný výber \(Z_1,\dots Z_n \sim R(0;1),\) pre ktorý platí \(Z_i=F_X(X_i),\; i=1,\dots ,n.\)

n <- c(1000,5000,10000)
set.seed(0610)
Z <- runif(n[1])

Následne spätnou transormáciou získame náhodný výber \(X_1,\dots ,X_n\) z rozdelenia s distribučnou funkciou \(F_X(x)\) ako \(X_i=F^{-1}_X(Z_i),\; i=1,\dots ,n.\)

X=1-(1-Z)^(1/2)

Ďalej spočítame podmienenú distribučnú funkciu \[ F_{(Y|X)}(y|x)=\int_{- \infty}^{y}\frac{\mathbb{I}\{x \in (0;1)\} \cdot \mathbb{I}\{t \in (0;1-x)\}}{(1-x)}dt = \begin{cases} 0, & y<x, \\ \frac{y-x}{1-x}, & y \in (x;1), \\ 1, & y>1. \end{cases} \]

Príslušná kvantilová funkcia je \[F^{-1}_{(Y|X)}(u|x)=(1-x) \cdot u +x, \; u \in (0,1).\]

Nagenerujeme náhodný výber \(U_1,\dots ,U_n \sim R(0;1),\) pre ktorý platí \(U_i=F_{Y|X}(Y_i|X_i),\; i=1,\dots ,n.\) Teda spätne potom môžeme spočítať \(Y_i=F^{-1}_{Y|X}(U_i|X_i),\; i=1,\dots ,n.\)

set.seed(0610)
U <- runif(n[1])
Y=(1-X)*U+X

Nagenerovali sme tak náhodný výber z rozdelenia s hustotou \(f_{(X,Y)}(x,y)\) a môžeme spočítať jeho výberový priemer a výberovú kovariančnú maticu \(\hat{\Sigma}\). \[\begin{align*} \begin{pmatrix} \overline{X}_n \\ \overline{Y}_n \\ \end{pmatrix} \doteq \begin{pmatrix} 0,34 \\ 0,61\\ \end{pmatrix}, \; \hat{\Sigma}\doteq \begin{pmatrix} 0,06 & 0,07 \\ 0,07 & 0,09\\ \end{pmatrix}. \end{align*}\]

Pre porovnanie s teoretickými hodnotami: \[\begin{align*} \begin{pmatrix} EX_i \\ EY_i \\ \end{pmatrix} \doteq \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3}\\ \end{pmatrix}, \; \Sigma= \begin{pmatrix} \frac{1}{18} & \frac{1}{36} \\ \frac{1}{36} & \frac{1}{18}\\ \end{pmatrix}. \end{align*}\]

Pre grafické overenie, že sa naozaj jedná o rovnomerné rozdelenie na trojuholníku, využijeme 3D histogramy a ich projekciu na plochu. Obrázky generujeme postupne pre náhodné výbery o rozsahu \(n=1000,5000,10000.\) So zvyšujúcim sa rozsahom výberu budeme pozorovať väčšiu uniformitu výberov.

library(plot3D)

##  Simulate data:
set.seed(0610)
for (i in 1:length(n)){
  
Z <- runif(n[i])
U<- runif(n[i])

X=1-(1-Z)^(1/2)
Y=(1-X)*U+X

##  Create cuts:
x_c <- cut(X, 20)
y_c <- cut(Y, 20)

##  Calculate joint counts at cut levels:
z <- table(x_c, y_c)

##  Plot as a 3D histogram:
hist3D(z=z, border="black", main=paste("n=",as.character(n[i]),collapse=""))

##  Plot as a 2D heatmap:
image2D(z=z, border="black",main=paste("n=",as.character(n[i]),collapse=""))

}