DÚ 3

V tejto domácej úlohe si zvolíme tretiu úlohu. Uvažujme teda náhodný vektor \(\textbf{X} \sim \mathrm{N}_2(\mu, \Sigma)\), s vektorom stredných hodnôt \(\mu = (2,2)^\top\) a variančnou-kovariančnou maticou \(\Sigma = \mathbb{I}_2\) (jednotková matica). Nech \(\mathbb{A}=(1,1)\) a \(\mathbb{B}=(1,−1)\). Ukážte, že náhodné vektory \(\mathbb{A}\textbf{X}\) a \(\mathbb{B}\textbf{X}\) sú nezávislé.

Teoretické riešenie

Označme \[\begin{equation*} \textbf{Z}= \begin{pmatrix} \mathbb{A}\textbf{X} \\ \mathbb{B}\textbf{X} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbb{A} \\ \mathbb{B} \end{pmatrix} \textbf{X}. \end{equation*}\]

Keďže náhodný vektor \(\textbf{X}\) je normálne rozdelený a matice \(\mathbb{A}, \mathbb{B}\) sú matice konštant, tak aj náhodný vektor \(\textbf{Z}\) má normálne rozdelenie. Vieme, že združená normalita a nekorelovanosť implikuje nezávislosť, preto počítajme:

\[\begin{equation*} \mathrm{cov}(\mathbb{A}\textbf{X}, \mathbb{B}\textbf{X}) = \mathbb{A} \, \mathrm{cov}(\textbf{X},\textbf{X}) \, \mathbb{B}^\top = \mathbb{A} \Sigma \mathbb{B}^\top = \mathbb{A} \mathbb{B}^\top = (1, 1) \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = 0. \end{equation*}\]

Teda sme overili, že náhodné vektory \(\mathbb{A}\textbf{X}\) a \(\mathbb{B}\textbf{X}\) sú skutočne nezávislé.

Grafické riešenie

Aby boli náhodné vektory \(\mathbb{A}\textbf{X}\) a \(\mathbb{B}\textbf{X}\) nezávislé, nemôžeme vidieť žiaden trend na obrázku zobrazujúcom náhodný výber z náhodného vektoru \(\textbf{Z}\) pre \(n=1 \, 000\). Oranžová čiara by mala byť horizontálna.

library("mvtnorm")

n <- 1000
set.seed(1000)
X <- rmvnorm(n, c(2, 2), matrix(c(1, 0, 0, 1),2,2))
AX=X[,1]+X[,2]
BX=X[,1]-X[,2]
Y=data.frame(AX,BX)

plot(data=Y,AX ~ BX, pch = 21, bg = "lightblue",col="black")
abline(lm(data=Y, AX ~ BX), col = "orange", lwd = 2)

Vidíme, že oranžová regresná priamka je takmer horizontálna a takisto, že body sú v rovine rozmiestnené bez viditeľnejšieho trendu a preto môžeme usúdiť, že vektory \(\mathbb{A}\textbf{X}\) a \(\mathbb{B}\textbf{X}\) sú nezávislé.