DÚ 2

1. časť

Uvažujme dvojdimenzionálne rovnomerné rozdelenie náhodného vektoru \((X,Y)^T\) na množine \(M=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2; 0<x<y<1\}.\) Našou úlohou bude nájsť hustotu \(f_{X,Y}(x,y)\) a príslušné marginálne hustoty \(f_{X}(x)\) a \(f_{Y}(y)\). Vieme povedať niečo o nezávislosti náhodných veličín \(X\) a \(Y\)?

Vieme, že náhodný vektor \((X,Y)^T\) má rovnomerné rozdelenie, preto bude jeho hustota tvaru \(f_{X,Y}(x,y) = c \cdot \mathbb{I}_{M}\), kde \(c\) je reálna konštanta. Ďalej vieme, že intergál z hustoty na množine \(\mathbb{R}^2\) je rovný \(1\). Z toho plynú nasledujúce výpočty:

\(\int_{\mathbb{R}^2} c \cdot \mathbb{I}_{M} \,dx dy = \int_0^1 \int_0^y c \,dx dy = \int_0^1 c \cdot y \, dy = \frac{c}{2} \implies c=2.\)

Teda združená hustota je tvaru \(f_{X,Y}(x,y) = 2 \cdot \mathbb{I}_{M}\) a vyintegrovaním príslušných premenných vieme spočítať marginálne hustoty.

\(f_{X}(x) = \int_x^1 2 \cdot \mathbb{I}_{(0,1)}(x) \, dy = 2\cdot (1-x) \cdot \mathbb{I}_{(0,1)}(x)\).

\(f_{Y}(y) = \int_0^y 2 \cdot \mathbb{I}_{(0,1)}(y) \, dx = 2\cdot y \cdot \mathbb{I}_{(0,1)}(y)\).

Z toho vidíme, že náhodné veličiny \(X\) a \(Y\) nie sú nezávislé, pretože \(f_{X,Y}(x,y) \neq f_X(x) \cdot f_Y(y)\).

2. časť

V tejto časti máme simulovať dvojrozmerný náhodný výber \((X_1,Y_1)^T, \dots, (X_n,Y_n)^T\) z rozdelenia daného hustotou \(f_{X,Y}(x,y)\) z predošlého príkladu.

K určeniu \(F_X(x)\) využijeme výpočet z predošlej úlohy a dostávame \(F_X(x) = (2x - x^2) \cdot \mathbb{I}_{(0,1)} + \mathbb{I}_{[1,\infty)}\). Distribučná funkcia \(F_X(x)\) je absolútne spojitá a teda príslušná kvantilová funkcia má tvar \(F_{X}^{-1}(u) = 1- \sqrt{1-u}, \, u \in (0,1)\). Teraz nagenerujme náhodný výber \(U_1, \dots, U_n \sim R(0,1)\) splňujúci \(U_i = F_X(X_i), \, i=1,\dots, n\), z ktorého vieme jednoduchou transformáciou získať náhodný výber \(X_1, \dots, X_n\) ako \(X_i = F^{-1}_X(U_i), \, i=1,\dots, n.\)

Ďalej potrebujeme spočítať kvantilovú funkciu \(F_{Y|X}^{-1}\). Použijeme platnosť vzťahu \(f_{X,Y}(x,y) = f_{Y|X}(y|x) \cdot f_X(x)\), z ktorého vyjadríme \(F_{Y|X}(y|x) = \frac{y-x}{1-x} \cdot \mathbb{I}_{(x,1)} + \mathbb{I}_{[1,\infty)}\) a dostaneme kvantilovú funkciu \(F_{Y|X}^{-1}(v|x) = (1-x)v + x, \, v \in (0,1)\). Opäť generujme náhodný výber \(V_1, \dots, V_n \sim R(0,1)\) splňujúci \(V_i = F_{Y|X}(Y_i|X_i), \, i=1,\dots, n\). Na základe predošlých výpočtov vieme vyjadriť náhodné veličiny \(Y_i = F^{-1}_{Y|X}(V_i|X_i), \, i=1,\dots, n\).

Môžeme tak generovať náhodný vektor \((X,Y)^T\). Zvolíme \(n=10 000\) pozorovaní a budeme sledovať, či ide o náhodný výber z rovnomerného rozdelenia.

# Nahodne vybery z rovnomerneho (0,1) rozdelenia
n <- 10000
U <- runif(n, 0, 1)
V <- runif(n, 0, 1)

# vypocet vektora (X,Y)
X = 1-(1-U)^(1/2)
Y = (1-X)*V + X

#3D graf
library(plot3D)

x_c <- cut(X, 20)
y_c <- cut(Y, 20)
z <- table(x_c, y_c)

#  Plot as a 3D histogram:
hist3D(z=z, border="black")

#  Plot as a 2D heatmap:
image2D(z=z, border="black")

Vidíme, že pre \(n=10\, 000\) vyzerá 3D graf rovnomerne rozdelený. Na záver spočítajme výberovú variančnú maticu a porovnáme ju s teoretickými hodnotami. Dostávame

\(\mathrm{E}X = \int_\mathbb{R} x \cdot f_X(x) \, dx= \int_0^1 2 x (1-x) \, dx = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\).

\(\mathrm{E}X^2 = \int_\mathbb{R} x^2 \cdot f_X(x) \, dx= \int_0^1 2 x^2 (1-x) \, dx = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6}\).

\(\mathrm{var}X = \mathrm{E}X^2 - (\mathrm{E}X)^2 = \frac{1}{6} - \frac{1}{9} = \frac{1}{18}\).

Podobne pre náhodné veličiny \(Y_i: \mathrm{E}Y = \frac{2}{3}, \, \mathrm{E}Y^2 = \frac{1}{2}, \, \mathrm{var}Y = \frac{1}{18}\) a \(\mathrm{cov}(X,Y) = \mathrm{E}(XY) - \mathrm{E}X \cdot \mathrm{E}Y = \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{36}.\)

Výberová kovariančná matica je

##            [,1]       [,2]
## [1,] 0.05517039 0.02780919
## [2,] 0.02780919 0.05559835

Zapíšme predošlé výpočty do matíc z ktorých môžeme usúdiť, že výberové a teoretické hodnoty sú takmer totožné.

\[\begin{equation*} \Sigma= \begin{pmatrix} 0,056 & 0,028 \\ 0,028 & 0,056 \end{pmatrix} \, \text{a} \, \hat \Sigma= \begin{pmatrix} 0,055 & 0,028 \\ 0,028 & 0,056 \end{pmatrix}. \end{equation*}\]